Периметр и площадь прямоугольника

Как найти периметр и площадь?

Интересно, что много лет назад такой раздел математики, как «геометрия» называли «землемерием». И о том, как найти периметр и площадь, известно уже давно. К примеру, говорят, что самыми первыми вычислителями этих двух величин являются жители Египта. Благодаря таким знаниям они могли строить известные сегодня сооружения.

Умение находить площадь и периметр может пригодиться в повседневной жизни. В быту данные величины используются, когда необходимо что-либо покрасить, засадить или обработать сад, поклеить в комнате обои и т. п.

Периметр

Чаще всего необходимо узнать периметр многоугольников или треугольников. Чтобы определить эту величину, достаточно лишь знать длины всех сторон, а периметр составляет их сумму. Найти периметр, если известна площадь, также возможно.

Треугольник

Если необходимо знать периметр треугольника, для его вычисления стоит применить такую формулу P = а + b + с, где а, b, с — стороны треугольника. В этом случае все стороны обычного треугольника на плоскости суммируются.

Круг

Периметр круга обычно принято называть длиной окружности. Чтобы узнать данную величину, необходимо использовать формулу: L = π*D = 2*π*r, где L- длина окружности, r — радиус, D — диаметр, а число π, как известно, примерно равно 3,14.

Формулы для периметров квадрата и ромба одинаковы, потому что и у одной фигуры, и у другой все стороны равны. Поскольку квадрат и ромб имеют равные стороны, то их (стороны) можно обозначить одной буквой «а». Получается, периметр квадрата и ромба равен:

Р = а + а + а + а или Р = 4а

Прямоугольник, параллелограмм

У прямоугольника и параллелограмма противолежащие стороны одинаковы, поэтому их можно обозначить двумя разными буквами «а» и «b». Формула выглядит так:

Р = а + b + а + b = 2а + 2b. Двойку можно вывести за скобки, и получится такая формула: Р = 2 (а+b)

Трапеция

У трапеции все стороны разные, поэтому их обозначают разными буквами латинского алфавита. В связи с этим формула для периметра трапеции выглядит так:

Р = а + b + с + d Здесь все стороны суммируются вместе.

Дополнительно о вычислении периметра можно узнать из статьи Как найти периметр.

Площадь

Площадь – та часть фигуры, которая заключена внутри ее контура.

Прямоугольник

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, необходимо умножить значение одной стороны (длины) на значение другой (ширины). Если значения длины и ширины обозначаются буквами «а» и «b», то площадь вычисляется по формуле:

Площадь квадрата

Из известно, что для вычисления площади квадрата достаточно умножить его сторону саму на себя. Докажем это строго, используя лишь свойства площадей.

Попробуем вычислить площадь квадрата, если известна его сторона. Если она равна 2, то квадрат можно разбить на четыре единичных квадрата, а если она равна 3, то квадрат можно разделить уже на девять единичных квадратов:

Тогда площадь квадрата со стороной 2 равна 4, а со стороной 3 уже равна 9. В общем случае квадрат со стороной n (где n– ) можно разбить n2 единичных квадратов, поэтому его площадь будет равна n2.

Но что делать в случае, если сторона квадрата – это не целое, а дробное число? Пусть оно равно некоторой дроби 1/m, например, 1/2 или 1/3. Тогда поступим наоборот – разделим сам единичный квадрат на несколько частей. Получится почти такая же картина:

В общем случае единичный квадрат можно разбить на m2 квадратов со стороной 1/m. Тогда площадь каждого из таких квадратов (обозначим ее как S)может быть найдена из уравнения:

Снова получили, что площадь квадрата в точности равна его стороне, возведенной во вторую степень.

Наконец, рассмотрим случай, когда сторона квадрата равна произвольной дроби, например, 5/3. Возьмем квадраты со стороной 1/3 и построим из них квадрат, поставив 5 квадратов в ряд. Тогда его сторона как раз будет равна 5/3:

Площадь каждого маленького квадратика будет равна 1/9, а всего таких квадратиков 5х5 = 25. Тогда площадь большого квадрата может быть найдена так:

В общем случае, когда дробь имеет вид n/m, где m и n– натуральные числа, площадь квадрата будет равна величине

Получили, что если сторона квадрата – произвольное рациональное число, то его площадь в точности равна квадрату этой стороны. Конечно, возможна ситуация, когда сторона квадрата – это . Тогда осуществить подобное построение не получится. Здесь помогут значительно более сложные рассуждения, основанные на методе «от противного».

Предположим, что есть некоторое иррациональное число I, такое, что площадь квадрата (S) со стороной I НЕ равна величине I2. Для определенности будем считать, что I2<S (случай, когда I2>S, рассматривается абсолютно аналогично). Однако тогда, извлекая корень из обеих частей неравенства, можно записать, что

Далее построим два квадрата, стороны которых имеют длины I и R, и совместим их друг с другом:

Так как мы выбрали число R так, чтобы оно было больше I, то квадрат со стороной I является лишь частью квадрата со стороной R.Но часть меньше целого, значит, площадь квадрата со стороной I (а она равна S) должна быть меньше, чем площадь квадрата со стороной R (она равна R2):

из которого следует противоположный вывод – величина R2 меньше, чем S. Полученное противоречие показывает, что исходная утверждение, согласно которому площадь квадрата со стороной I НЕ равна I2, является ошибочным. А значит, площадь квадрата всегда равна его стороне, умноженной на саму себя.

Задание. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна

Задание. Площадь квадрата равна 25. Найдите длину его стороны.

Решение. Пусть сторона квадрата обозначается буквой х (как неизвестная величина). Тогда условие, согласно которому его площадь равна 25, можно переписать в виде уравнения:

Его простейшее квадратное уравнение, для его решения надо просто извлечь квадратный корень из правой части:

Примечание. Строго говоря, записанное уравнение имеет ещё один корень – это число (– 5). Однако его можно отбросить, так как длина отрезка не может быть отрицательным числом. В более сложных геометрических задачах отрицательные корни также отбрасывают.

Задание. Численно площадь квадрата равна периметру квадрата (с учетом того, что площадь измеряется в см2, а периметр – в см). Вычислите его площадь.

Решение. Снова обозначим сторону квадрата как х, тогда площадь (S)и периметр (Р) будут вычисляться по формулам:

По условию эти величины численно равны, поэтому должно выполняться равенство, являющееся уравнением:

Естественно, сторона квадрата не может быть равна нулю, поэтому нас устраивает только ответ х = 4. Тогда и площадь, и периметр будут равны 16.

Ответ: 16 см2.

Обратите внимание, что ответ задачи зависит от единицы измерения. Если использовать миллиметры, то сторона квадрата окажется равной 40 мм, периметр будет равен 160 мм, а площадь составит 1600 мм2

Именно поэтому в условии задачи сказано, что площадь и периметр равны численно. «По-настоящему» равными бывают только величины, измеряемые в одинаковых единицах измерения.

Информация о прямоугольнике

Прямоугольник — четырехугольная геометрическая фигура, противолежащие стороны которой равны и углы являются прямыми. Частным случаем данной фигуры считается квадрат. У него все углы прямые, а также все стороны равны между собой. Для выполнения расчетов нужно знать основные соотношения, свойства и признаки.

Важным аспектом является идентификация фигуры и применение к ней формул и соотношений. В двухмерной геометрии, которую еще называют эвклидовой, можно встретить необычный признак, позволяющий определить принадлежность четырехугольника к прямоугольнику. Его формулировка следующая: достаточно хотя бы трех углов, равных 90 градусам, чтобы четырехугольник считался прямоугольником.

Утверждение легко доказывается. Это связано с тем, что по теореме о сумме внутренних углов произвольного четырехугольника, составляющей 360 градусов, четвертый угол тоже равен 90. Нужно выполнить следующие расчеты для определения градусной меры четвертого угла: D = 360 — (90 + 90 + 90) = 90. Необходимо отметить, что смежные с ними углы равны 90.

Свойства и признаки

Очень часто новички путают свойства и признаки фигуры. Однако это совсем различные понятия. Признаками фигуры называются характерные особенности, которые позволяют отнести ее к тому или иному классу. Свойства — совокупность аксиом, позволяющих использовать некоторые данные при решении или доказательстве теорем и тождеств. Прямоугольник обладает следующими признаками:

1. Условие параллельности и равенства противоположных сторон.
2. Наличие четырех прямых углов.
3. Равенство диагоналей.
4. Квадрат диагонали равен суммарному значению квадратов двух сторон, которые не противоположны.
5. Все стороны не равны между собой.

Очень важно уметь различать геометрические фигуры. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то их часто путают

Основное его отличие — это равенство всех углов 90 градусов. У параллелограмма и ромба углы будут равняться 90 в том случае, когда они являются квадратами. Последний отличается от искомой фигуры (прямоугольника) равенством всех сторон. Поскольку прямоугольник является частным случаем параллелограмма, то обладает такими же свойствами:

1. Углы равны между собой 90 градусов.
2. Противолежащие параллельные стороны равны.
3. Сумма всех внутренних углов составляет 360.
4. Диагональ, проведенная внутри прямоугольника, делит его на два равнозначных треугольника, которые являются равновеликими. Они равны по третьему признаку равенства треугольников (размерности сторон одной фигуры равны значениям сторон другой фигуры).
5. Треугольники, полученные при проведении двух диагоналей, равны по всем признакам (углам и сторонам).
6. Диагонали пересекаются между собой в точке, которая делит их на четыре равные части.
7. Точка пересечения диагоналей — центр симметрии.
8. Сумма квадратов двух диагоналей соответствует суммарному значению квадратов всех сторон фигуры.

Периметр и размерность

Нужно ввести некоторые обозначения. Пусть стороны прямоугольника АВСД обозначаются литерами a и b. Поскольку диагонали равны, то можно только обозначить размерность одной буквой «d». Периметром называется сумма всех сторон заданной фигуры. Он обозначается литерой P. Для его нахождения применяется формула такого вида: P = 2 * (a + b). Однако бывает случай, когда известна только одна его сторона и диагональ. Формула приобретает следующий вид: P = 2a + ^(1/2) и P = 2b + ^(1/2).

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, следует воспользоваться таким соотношением: S = a * b. Эта базовая формула, которая используется также в строительной сфере и физике. Однако существует еще один способ, с помощью которого можно узнать площадь прямоугольника. Она находится с помощью формулы Герона для треугольников с площадями S1 и S2, а затем результат умножается на 2. Эта особенность основывается на свойстве фигуры, поскольку диагональ делит его на два равных треугольника.

Соотношение имеет следующий вид: S = S1 + S2 = 2S1= 2 * ^(1/2). Переменная «p» — полупериметр треугольника. Он находится таким методом: p = P / 2 = (a + b + d) / 2.

Периметр прямоугольника

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть, составляют 90 градусов. Частным случаем прямоугольника могут быть квадрат или ромб.

Периметр прямоугольника — это сумма длин всех его ребер.

Основные свойства прямоугольника:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут

• противоположные стороны фигуры равны и параллельны друг другу;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали прямоугольника равны по длине и точкой пересечения делятся пополам;
• диагонали делят фигуру на два одинаковых прямоугольных треугольника;
• по теореме Пифагора, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его соседних ребер;
• стороны рассматриваемого четырехугольника также являются его высотами;
• точка пересечения диагоналей — это центр прямоугольника и также центр вписанной окружности;
• диагональ этого четырехугольника — это диаметр описанной окружности;
• вокруг него всегда можно описать окружность.

Площади усеченных частей круга

А также полезно знать следующие геометрические элементы, связанные с кругами и окружностями:

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Сектор является частью круга, а его площадь относится к площади круга так же, как и длина окружности сектора к длине всей окружности. Поэтому площадь сектора равна площади круга, умноженной на отношение длинны окружности сектора к длине окружности всего круга.

Но площадь сектора можно вычислить и по более простой формуле. Она равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S — площадь сектора, r — радиус круга.

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой.

Площадь сегмента можно найти по формулам:

где S — площадь сегмента, sinα — синус угла двух между радиусов до концов хорды, r — радиус круга.

Часто задаваемые вопросы о площади круга?

И конечно, стоит ответить на некоторые вопросы, которые возникают во время расчетов.

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разнообразные калькуляторы, в частности калькуляторы: длины окружности, диаметра и площади круга. Для последней калькулятор находится на данной странице.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Кто впервые научился вычислять площадь круга?

Гиппократ Хиосский (не тот, в честь которого назвали клятву) первым сформулировал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра. Евдокс Книдский в IV веке до н. э. строго доказал это утверждение. А Архимед в III веке до н. э. нашёл число Пи и продемонстрировал, что оно чуть меньше, чем 3 и 1/7.

Урок и презентация на тему: «Периметр и площадь прямоугольника»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Что такое прямоугольник и квадрат

Прямоугольник
– это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.

Квадрат
– это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.

A, B, C, D

Пример.
Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра

Периметр прямоугольника

Периметр обозначается латинской буквой P
. Так как периметр — это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как P
ABCD , где А, В, С, D — это вершины прямоугольника.

Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:

P
ABCD = 2 * (AB + BС)

P
ABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см

Формула расчета периметра квадрата

P
ABCD = 2 * (AB + BC)

P
ABCD = 4 * AB

Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:

P
ABCD = 4 * AB

P
ABCD = 4 * 6 см = 24 см

Ответ: P ABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.
2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.

3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?

В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.

2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев. Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?

Площадь
числовая характеристикаквадратными единицамиS

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.

S
AKMO = AK * KM

S
AKMO = AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см 2 .

Ответ: 14 см 2 .

Формула вычисления площади квадрата

Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

S
AВСО = AB * BC = AB * AB

S
AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см 2

Ответ: 64 см 2 .

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата

2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Периметр и площадь квадрата

Это сумма его четырех сторон. Как мы знаем, все стороны квадрата имеют равный размер. Поэтому мы можем узнать периметр квадрата, умножив длину его стороны на четыре:

P= a+a+a+a

Например, перед нами квадрат со стороной 10 см.

Ответ: 40 см

P= 10+10+10+10

P=40

Ответ: 40 см

Чтобы разобраться, что такое периметр и площадь, следует уяснить, что периметр вычисляет длину контура фигуры, а площадь – размер всей ее поверхности.

Чтобы узнать площадь квадрата, необходимо воспользоваться простой формулой:

S – это площадь, а – сторона квадрата.

Например, в задаче указано, что длина стороны квадрата составляет 10см.

S= 100см 2

Ответ: 10см 2

Как найти периметр и площадь?

Интересно, что много лет назад такой раздел математики, как «геометрия» называли «землемерием». И о том, как найти периметр и площадь, известно уже давно. К примеру, говорят, что самыми первыми вычислителями этих двух величин являются жители Египта. Благодаря таким знаниям они могли строить известные сегодня сооружения.

Умение находить площадь и периметр может пригодиться в повседневной жизни. В быту данные величины используются, когда необходимо что-либо покрасить, засадить или обработать сад, поклеить в комнате обои и т. п.

Периметр

Чаще всего необходимо узнать периметр многоугольников или треугольников. Чтобы определить эту величину, достаточно лишь знать длины всех сторон, а периметр составляет их сумму. Найти периметр, если известна площадь, также возможно.

Треугольник

Если необходимо знать периметр треугольника, для его вычисления стоит применить такую формулу P = а + b + с, где а, b, с — стороны треугольника. В этом случае все стороны обычного треугольника на плоскости суммируются.

Периметр круга обычно принято называть длиной окружности. Чтобы узнать данную величину, необходимо использовать формулу: L = π*D = 2*π*r, где L- длина окружности, r — радиус, D — диаметр, а число π, как известно, примерно равно 3,14.

Формулы для периметров квадрата и ромба одинаковы, потому что и у одной фигуры, и у другой все стороны равны. Поскольку квадрат и ромб имеют равные стороны, то их (стороны) можно обозначить одной буквой «а». Получается, периметр квадрата и ромба равен:

Р = а + а + а + а или Р = 4а

Прямоугольник, параллелограмм

У прямоугольника и параллелограмма противолежащие стороны одинаковы, поэтому их можно обозначить двумя разными буквами «а» и «b». Формула выглядит так:

Р = а + b + а + b = 2а + 2b. Двойку можно вывести за скобки, и получится такая формула: Р = 2 (а+b)

Трапеция

У трапеции все стороны разные, поэтому их обозначают разными буквами латинского алфавита. В связи с этим формула для периметра трапеции выглядит так:

Р = а + b + с + d Здесь все стороны суммируются вместе.

Дополнительно о вычислении периметра можно узнать из статьи Как найти периметр.

Прямоугольник

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, необходимо умножить значение одной стороны (длины) на значение другой (ширины). Если значения длины и ширины обозначаются буквами «а» и «b», то площадь вычисляется по формуле:

Ромб

Формула нахождения площади ромба имеет немного другой вид: S = a*ha, где ha – это длина высоты ромба, которая проведена к стороне.

Кроме того, площадь ромба можно узнать по формулам:

• S = a2*sin α, при этом а является стороной фигуры, а угол α — угол между сторонами;
• S = 4r2/sin α, где r — радиус вписанной в ромб окружности, а угол α — угол между сторонами.

Трапеция

Чтобы вычислить площадь трапеции, можно воспользоваться данной формулой:

S = 1/2*a*b*h, где a, b — основания трапеции, h — высота.

Треугольник

Для нахождения площади треугольника воспользуйтесь одной из нескольких формул:

• S = 1/2*a*b sin α (где а, b — стороны треугольника, а α — угол между ними);
• S = 1/2 a*h (где а — основание треугольника, h — опущенная к нему высота);
• S = abc/4R (где a, b, c — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности);
• S = p*r (где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности);
• S= √ (p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) (где p — полупериметр, a, b, c — стороны треугольника).

Параллелограмм

Для вычисления площади данной фигуры необходимо подставить значения в одну из формул:

• S = a*b*sin α (где а, b — основания параллелограмма, α — угол между сторонами);
• S = a*ha (где a — сторона параллелограмма, ha – это высота параллелограмма, которая опущена к стороне а);
• S = 1/2 *d*D* sin α (где d и D — диагонали параллелограмма, α — угол между ними).

Формула (формулы) площади круга

Найти площадь круга можно разными способами, в зависимости от известных данных.

По радиусу

Если дан только радиус, то площадь составит произведение константы Пи на квадрат радиуса. Расчёт будет по формуле (где r – радиус, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если радиус равен 2 метра, то площадь круг можно вычислить так S = 3,14 × 22 = 3,14 × 4 = 12,56 м2 (квадратных метров).

Через диаметр

Если известен диаметр, то площадь круга будет равняться одной четвёртой произведения Пи и квадрата диаметра. Формула площади круга будет такой (где d — диаметр, а π – константа, равная 3,1415…):

К примеру, если диаметр круга (площадь поверхности пиццы) составляет 35 сантиметров, то площадь такого круга будет равна S = ¼ × 3,14 × 352 = ¼ × 3,14 × 1225 = 962 см2 (квадратных сантиметра).

Через длину окружности

Если мы знаем только длину окружности (периметр круга), то рассчитать площадь фигуры можно по формуле (где L — длина окружности, а π – константа, равная 3,1415…):

Например, если длинна окружности составляет 120 мм, тогда площадь круга будет равна S = 1202  / (4 × 3,14) = 14 400 / (4 × 3,14) = 1146,5 мм2 (квадратных миллиметров).

Наименьший периметр многоугольника через площадь

Наверное часть из вас, знает легенду  о возникновении города Карфаген.

«У Мапона, царя Тира, было двое детей — Пигмалион и Элисса (таким было тирское имя царицы Дидоны). После смерти Мапона трон занял его сын Пигмалион, еще ребенок. Элисса, подстрекаемая Пигмалионом, вышла замуж за его дядю Сикарба. жреца храма Геракла и второго человека в государстве после самого царя, так как Пигмалион хотел заполучить сокровища, спрятанные Сикарбом. Спустя некоторое время Пигмалион попросил Элиссу разузнать, где муж прячет сокровища. Она подчинилась, но не сказала брату, где находится тайник. Пигмалион повелел убить Сикарба, чтобы завладеть его богатством, а Элисса успела скрыться на корабле вместе со знатными тирийцами. захватив сокровища с собой. Беглецы высадились на севере Африки, где их тепло приняли местные жители, заключившие с прибывшими договор: тирийцам разрешалось занять столько земли, сколько можно было покрыть бычьей шкурой. Те разрезали шкуру на очень тонкие ремни, связали их вместе и опоясали ими достаточно большой участок. Местные жители в соответствии с договором передали им землю, где был основан город. Новый город получил название Бирса, что по-финикийски означает «бычьи шкуры-. Спустя некоторое время царь соседнего племени Иарбант захотел жениться на Дидоне и угрожал объявить войну в случае отказа. Дидона отказалась и покончила с собой. На основе этой легенды Вергилий создал «Энеиду- — поэму о похождениях троянского героя Энея. Корабль Энея прибивает бурей к побережью Африки, и его подбирают жители Карфагена — города, основанного Дидоной. Дидона влюбляется в Энея и умоляет его остаться. Тот отказывается, и Дидона кончает жизнь самоубийством.»

В этой красивой легенде, есть математическая часть, которую не все замечают. 

Каким образом царица  должна разместить разрезанные полосы, что бы получить максимальную площадь?

Прямоугольник? Квадрат? Многоугольник?

В общем случае, задача совсем нетривиальная и ей посвящены работы серъезных ученых..

Но если говорить о геометрических фигурах, не «прижатых» к побережью, то здесь проще.

Итак задача формулируется  так: Какая из геометрических фигур  при одинаковой площади S имеет наименьший периметр P? 

Рассматриваем  только правильные геометрические фигуры, которые имеют одинаковые стороны.

Общая формула связывающая количество сторон (n) многоугольника, длину стороны (a) с площадью (S)  выглядит вот так

тогда периметр (P) будет находится как

Для треугольника 

Для четырехугольника (квадрата)

Для шестиугольника

Как видно  при постоянной площади, минимальный периметр будет у шестиугольника. Конечно, если будем сравнивать 6-ти угольник с 12-ти угольников то 12 угольник выиграет по минимальному преиметру.

И естественно что лидером будет простая окружность которая является такой геометрической фигурой у которой  при той же самой площади,  периметр будет минимальным.

В природе однако встречаются чаще всего шестиугольники. Это строение глаз (фасетки) насекомых, это и строительство сот у пчёл, и еще много чего имеет шестиугольную форму.

Почему так? Просто шестиугольник  обладает еще одним преимуществом, с помощью которого можно закрыть любую площадь с минимальными «потерями» — пустым местом между ячейками.

Посмотрите на игру «Мозаика». Какую форму имеют детали игры?

Поэтому шестиугольник так распространен в природе.

— закрывает всю площадь

— для строительтсва такой «соты» необходимо потратить минимальное количество  материала, по сравнению например с треугольной или квадратной формой.

• Определение формулы касательной к окружности >>