Как посчитать площадь треугольника

Тригонометрия в геометрии

Во многих задачах по геометрии часто удобно использовать тригонометрию для нахождения углов или сторон треугольника. Даже одни из самых мощных теорем в курсе школьной геометрии называются теорема косинусов и теорема синусов. Это нам как бы намекает на тесную связь этих двух разделов математики. И определение тригонометрических функций в 9-м классе дается через геометрическую фигуру — прямоугольный треугольник.

Попробуем теперь порешать классические задачи геометрии с использованием тригонометрии:

Пример 5
Дан прямоугольный треугольник \(\bigtriangleup{ABC}\), в котором угол \(\angle{C}=90^o\), угол \(\angle{A}=60^o\), сторона \(AC=5\). Найти все стороны треугольника \(\bigtriangleup{ABC}\).

Вписанный в окружность треугольник

Чтобы уметь вычислять площадь описанного треугольника, следует понимать, о каком взаимном расположении многоугольника и окружности идет речь. Согласно определению, если через все вершины полигона проходит окружность, значит, он считается вписанным в нее. Это простое определение не всегда выполняется для произвольного многоугольника, однако, для любой правильной фигуры оно будет справедливым, например, для квадрата или прямоугольника.

Касательно треугольника следует отметить, что он является единственным многоугольником, для которого всегда можно найти центр и радиус описывающей его окружности. Причем независимо от того, какой тип фигуры рассматривается.

Пересечение медиатрис

В рассматриваемой фигуре имеется три разных медиатрисы. Каждую из них построить несложно для любой из сторон. Для построения следует выполнить последовательность действий:

Выбрать сторону.
Установить циркуль в один из концов стороны и провести дугу окружности, которая будет пересекать сторону дальше, чем посередине.
Пункт 2 выполнить, установив циркуль во второй конец стороны.
Соединить точки пересечения дуг в одну линию. Она является медиатрисой.

Из проделанных построений следует один важный факт для всех треугольников: точка пересечения их медиатрис является центром описывающей фигуру окружности. Доказать это утверждение легко. Например, имеется треугольник ABC. Пусть проведена медиатриса m к стороне AB. Любая из точек, принадлежащих прямой m, находится на одинаковом расстоянии от вершин A и B.

Пусть проведена еще одна медиатриса n к стороне BC. Прямые m и n пересекаются в точке O. Поскольку O принадлежит обеим медиатрисам, то она, с одной стороны, находится на одном расстоянии от A и B, с другой стороны, она находится на одинаковой дистанции от вершин B и C. Этот факт дает право сделать вывод о том, что расстояния OA, OB и OC равны. Если их обозначить буквой R, то можно говорить, что R — радиус окружности с центром в точке O, которая проходит через три вершины треугольника, то есть описывается его.

Типы фигур и точка O

Поскольку для треугольника любого типа можно провести описывающую его окружность, то представляет интерес рассмотреть вопрос положения ее центра O. В общем случае существуют три типа рассматриваемого многоугольника:

С острыми углами, то есть все они менее 90 °. К этим треугольникам относятся равносторонние. Для них центр описанной окружности всегда расположен внутри фигуры.
С одним тупым углом и двумя острыми. Это может быть либо равнобедренный треугольник, либо фигура общего типа. Для нее точка O всегда расположена вне области, ограниченной сторонами многоугольника, то есть за его пределами.
Прямоугольный. Для такого типа треугольников центр описанной окружности расположен точно посередине гипотенузы. Это свойство треугольника, которое доказывается просто, если рассмотреть точку пересечения двух средних линий, проведенных относительно катетов. Поскольку O лежит посередине гипотенузы, то последняя является диаметром описанной окружности. Любой треугольник, который опирается на диаметр одной из своих сторон, и третья вершина которого лежит на окружности, является прямоугольным.

Формулы для определения площади

Как известно, площадь треугольника произвольного типа может быть рассчитана, как половина произведения высоты h на длину основания a: S = ½*h*a. Существует также еще одно универсальное выражение для определения S — это половина модуля векторного произведения направляющих отрезков, образующих любые две стороны.

Что касается формул площади треугольника, описанного около окружности, то нужно отметить, что известны несколько из них. Соответствующие равенства имеют следующий вид:

• S = a*b*c/(4*R);
• S = (½*R*ha*hb*hc)^0,5;
• S = 2*R 2 *ha*hb*hc/(a*b*c).

Где a, b, c — длины соответствующих сторон треугольника, ha, hb, hc — высоты, проведенные к a, b и c, соответственно. Видно, что все три формулы требуют знание минимум 4 параметров для рассматриваемой фигуры (радиус и три высоты или три длины сторон).

Полезно также привести формулу для расчета радиуса R:

R = ¼*a*b*c/(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))^0,5.

Как найти площадь неправильного многоугольника?

Чтобы найти площадь неправильного многоугольника, вы сначала нужно разделить фигуру на правильные многоугольники или плоские формы. Затем вы используете формулы площади правильного многоугольника, чтобы найти площадь каждого из этих многоугольников. Последний шаг — сложить все эти области вместе, чтобы получить общую площадь неправильного многоугольника.

Как найти площадь с 4 разными сторонами? Используйте следующее уравнение: Площадь = сторона × сторона или A = s . Пример: если одна сторона квадрата имеет длину 4 фута (t = 4), то площадь этого квадрата равна просто t 2 , или 4 х 4 = 16 квадратных футов. … Параллелограммы включают:

1. Квадраты: Четыре стороны одинаковой длины. …
2. Прямоугольники: четыре стороны; противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Как найти площадь углового участка? Затем измерьте все необходимые расстояния (например, AB, AC, AE и т. Д.) С помощью ленты или цепи.

1. Для △ ACD: AC = 10 футов. CD = 12 футов. AD = 14 футов. S = (a + b + c)/2 = (10 + 12 + 14)/2 = 18 футов.
2. Для △AED: AD = 14 футов. AE=14 футов. ДЭ = 12 футов. S = (a + b + c)/2 = (14+14+12)/2 = 20 футов.
3. Для △ AEB:

Особенности вычислений, зная длину основания и высоту

Рассмотрим треугольник ABC. Если опустить из вершины В высоту, то мы получим два прямоугольных треугольника. Тогда \(S=\frac{h\times AC}2.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут. Задача

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника ABC равна 13 см, а основание равно 10 см.

Найти: площадь равнобедренного треугольника.

Решение

Применим теорему Пифагора. Опустим из вершины B на основание AC высоту BK. Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна:

\(AK=\frac{AC}2=\frac{10}2=5\)

Высота с половиной основания и стороной образует прямоугольный ΔABK. В нем нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Тогда можно узнать высоту:

\(h=\sqrt{\left(13^2-5^2\right)}=\sqrt{144}=12\)

Площадь исходного ΔABC будет равна площади ΔABK и ΔCBK, образованных боковыми сторонами, высотой и половинами основания равнобедренного треугольника. Оба треугольника равны между собой. Гипотенузы — это стороны равнобедренного треугольника, поэтому они равны, один из катетов — общий, а поскольку BK одновременно является и биссектрисой, и высотой, то соответствующие углы тоже равны. Поэтому нам будет достаточно измерить площадь одного из них и умножить полученное число на два.

Применив формулу площади прямоугольного треугольника, получим:

\(S=\frac{AK\times BK}2=\frac{5\times12}2=30\)

Поскольку в составе ΔABC два равных ΔABK и ΔCBK, то общая площадь равнобедренного треугольника ABC составит:

\(30\times2=60\)

Ответ: \(S=60\;см^2.\)

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S – площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C).

Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.

Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.

Площадь данного треугольника можно вычислить по следующей формуле: S = (1/2)*a*h, где h — это высота треугольника. В нашем случае высота треугольника h равна ординате точки А, то есть h = b*sin(C).

Учитывая полученные результат, формулу площади треугольника можно переписать следующим образом: S = (1/2)*a*b*sin(C). Что и требовалось доказать.

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу.

S = 0,25 * c 2 * sin(2α), где c — гипотенуза, α — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.

S = 0,5 * a 2 * tg(α), где a — катет, α — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь прямого треугольника по формуле Герона.

S = (p − a) * (p − b), где a, b — катеты, p — полупериметр, который рассчитывается по формуле p = (a + b + c) : 2.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Вспомним, что если α — угол треугольника, то он лежит в пределах от 0° до 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

Классическое доказательство

Не берусь судить за все школы, но мне в 9 классе, как и большинству, все показывали через окружность с радиусом 1. Давайте сначала разберем это доказательство.

Косинус разности и косинус суммы

Чтобы вывести формулу косинуса суммы, отметим углы a и b так, как показано на рисунке ниже.

Углы a и b на единичной окружности

Из определений синуса и косинуса узнаем координаты точек А и В. Тогда вектор ОА равен (cos a, sin a), а ОВ равен (cos b, sin b). Также известно, что длины этих векторов равны 1. Давайте запишем скалярное произведение этих вектором двумя различными способами. Напомню необходимые формулы.

Скалярное произведение

Тогда |OA|*|OB|*cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b. Но |ОА| = 1 и |ОВ| = 1.

Следовательно, cos(a-b) = cos a * cos b + sin a * sin b.

Формула для косинуса суммы доказывается аналогичным образом.

cos(a+b) = cos a * cos b — sin a * sin b.

Синус разности и синус суммы

Формулы синусов доказываются, когда мы уже вывели формулы для косинусов. Нужно только воспользоваться формулой приведения.

Синус разности

Формула синуса суммы доказывается подобным образом.

Синус суммы

Площадь равнобедренного треугольника через высоту

Вычисление площади треугольника с использованием его высоты и параметров основания – самый актуальный вариант, на базе которого строятся многие другие методы решения. 

У планиметрической фигуры с двумя тождественными углами и боковыми отрезками высота может рассматриваться, как медиана и биссектриса. То есть линия, проведенная из вершины, делит планиметрический объект на два эквивалентных прямоугольных треугольника. 

И общая их площадь сводится к:

где:

• b — размер основания;

• h – высота.

Задача №1.

Требуется рассчитать S тупоугольного равнобедренного многоугольника. Его h=3 см, а длина b = 8 см. 

Вычисления выглядят следующим образом:

Ответ: 12 см2.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики. Лето — прекрасное время, чтобы заниматься ей с удовольствием, в комфортном темпе, без контрольных и оценок за четверть, валяясь дома на полу или за городом на травке.

Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом.

Вспоминаем геометрию: формулы для произвольных, прямоугольных, равнобедренных и равносторонних фигур.

Примеры

Эти примеры помогут вам лучше освоить тему:

Пример №1

Вычислить площадь ∆АВС, если a=10, в=20, c=30. Решение. Находим полупериметр: p=(10+20+30)/2=30. Теперь по формуле Герона: S=√(30•(30−10)•(30−20)•(30−30))=0, т. е. на самом деле мы имеем дело не с треугольником, а с отрезком, у которого с=а+b=10+20=30.

Пусть а=3, в=5, c=6, тогда p=(3+5+6)/2=7. Искомая площадь S=√(7•(7−3)•(7−5)•(7−6))=√(7•4•2•1)=√56≈7,48.

Пример №2

Найти угол γ между сторонами треугольника a и в из предыдущей задачи. Решение. S=(aв/2)•sin γ, sin γ=2S/(aв)=2•√56/(3•5)=0,99778, γ=arcsin 0,99778≈86°.

Пример №3

Пусть даны координаты вершин ∆ABC: А (1,2), В (-1,3), С (2,-5). Найти его площадь по одной из формул. Решение. Находим длины его сторон: AB=√((-1−1)²+(3−2)²)=√5, BC=√((2-(-1))²+(-5−3)²)=√73, AC=√((2−1)²+(-5−2)²)=√50. Тогда S=¼•√(4•5•73-(5+73−50)²)=¼•√676=26/4=6,5.

Пример №4

Периметр равностороннего треугольника численно равен его площади. Чему равна его сторона а? Решение. Так как периметр равностороннего треугольника равен Р=3а, а его площадь S=¼•a²√3, то приравняв эти равенства, получим: 3а=¼•а²√3. Решив это уравнение, найдем: а=4√3.

Пример №5

Площадь круга радиусом R равна площади равностороннего ∆ABC. Найти радиус круга. Решение. Площадь круга S=πR² по условию задачи равна площади равностороннего ∆ABC: πR²=¼•а²√3. Из этого соотношения находим: R=а√(√3)/(2√π)≈0,3713а.

Пример №6

Сторона и два прилежащих к ней угла в ∆ABC равны соответственно а=7, β=30°, γ=60°. Чему равна его площадь? Решение. S=½•7²/(ctg 30°+ctg 60°)=(49/2)/(√3+1/√3)=49√3/8≈10,61.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба, a — длина стороны ромба, h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба, a — длина стороны ромба, α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба, d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Примеры вычисления площади треугольника

Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^$.

Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть

Как найти площадь треугольника не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см 2 ?

Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

Калькулятор позволяет онлайн найти площадь треугольника разностороннего , треугольника прямоугольного , треугольника равнобедренного , треугольника равностороннего различными способами и выводит формулы с подробным решением.

• 1. Разносторонний треугольник:
• 1.1. по основанию и высоте: площадь треугольника равна произведению половины основания на его высоту;
• 1.2. по двум сторонам и углу между ними: площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними;
• 1.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника и каждой из его сторон;
• 1.4. по радиусу вписанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности;
• 1.5. по радиусу описанной окружности и трем сторонам: площадь треугольника равна одной четвертой отношения произведения сторон на радиус описанной окружности.

• 2. Прямоугольный треугольник:
• 2.1. по основанию и высоте: площадь прямоугольно треугольника равна половине произведения катетов треугольника;
• 2.2. по отрезкам на которые делит гипотенузу вписанная окружность: площадь прямоугольно треугольника равна произведению произведению отрезков на которые делит гипотенузу вписанная окружность;
• 2.3. по четырем сторонам (формула Герона): площадь прямоугольно треугольника равна произведению разностей полупериметра треугольника и каждой его катетов.

• 3. Равнобедренный треугольник:
• 3.1. по боковым сторонам и углу между ними: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами;
• 3.2. по боковой стороне, основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения боковой стороны и основания на синус угла между ними;
• 3.3. по основанию и углу между боковыми сторонами и основанием: площадь равнобедренного треугольника равна четверти отношения квадрата основания на тангенс половинного угла между боковыми сторонами.

• 4. Равносторонний треугольник:
• 4.1. по стороне: площадь равностороннего треугольника равна произведению одной четвертой корня из трех на квадрат стороны;
• 4.2. по радиусу описанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех четвертей корня из трех на квадрат радиуса описанной окружности;
• 4.3. по радиусу вписанной окружности: площадь равностороннего треугольника равна произведению трех корней из трех на квадрат радиуса вписанной окружности.
• 4.4. по высоте: площадь равностороннего треугольника равна отношению квадрата высоты к корню из трех.

Свойства треугольника

1. длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух остальных сторон, но больше разницы длин двух остальных сторон;
2. высота треугольника образует прямой угол со стороной, к которой проведена;
3. площадь треугольника равна половине произведения длины высоты треугольника и длины стороны, к которой проведена высота S_ABC=a⋅h/2.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 3 см, 7 см, 4 см?

Необходимо вспомнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше либо равна оставшейся стороне, то треугольник построить не получится. 3 + 4 = 7, значит построить треугольник не получится.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 16 см, 32 см, 18 см?

Необходимо вспомнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше либо равна оставшейся стороне, то треугольник построить не получится. Так как для укаанных длин будут справедливы следующие равенства: 16 + 18 > 32 и 16 > 32 − 18, то треугольник построить получится.

Пример. Можно ли построить треугольник из отрезков с длинами: 1 см, 3 см, 7 см ?

Необходимо вспомнить следующее правило: если сумма любых двух сторон меньше либо равна оставшейся стороне, то треугольник построить не получится. 3 + 1

Пример. Одна сторона, которая образует прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 4 см, другая сторона, которая образует прямой угол, в 2 раза меньше. Определи площадь треугольника.

Пусть AB = 4 см, тогда сторона BC = 4 : 2 = 2. И тогда площадь треугольника будет равна: S = 2 * 4 : 2 = 4 см2

Одна сторона, которая образует прямой угол прямоугольного треугольника ABD, равна 12 см, другая сторона, которая образует прямой угол, в 3 раза меньше. Определи площадь треугольника.

Пусть AB = 12 см, тогда сторона BC = 12 : 3 = 4. И тогда площадь треугольника будет равна: S = 12 * 4 : 2 = 24 см2

Рассчитай площадь треугольника ABC, если дана площадь клетки — 1 м2.

В треугольнике от вершины B проведём перпендикуляр к стороне AC. Таким образом данный треугольник разбит на два прямоугольных треугольника. Каждый из них — половина прямоугольника.

Поэтому площадь можно рассчитать следующим образом:

S_ABC=4⋅4/2+3⋅4/2=(16+12)/2=28/2=14м2.

Известно, что периметр равностороннего треугольника — 21 см. Определи периметр данного четырёхугольника, который состоит из равносторонних треугольников.

Известно, что периметр равностороннего треугольника — 21 см.

Значит, одна сторона треугольника равна 7 см.

Периметр данного четырёхугольника состоит из 4 таких сторон, значит, равен 28 см.

Дан равносторонний треугольник. 2 раза сделано следующее:

1. на всех сторонах отмечены и соединены серединные точки. 2. На сторонах внутреннего треугольника опять отмечены и соединены серединные точки. Треугольник, который образовался на этот раз, закрашен розовым цветом.

Внутренний треугольник состоит из 4 маленьких треугольников, такими же являются остальные 3 треугольника, следовательно, всего 4⋅4=16 маленьких треугольников.

2. Чему равна площадь большого треугольника, если площадь розового треугольника равна 4 м²?

Площадь большого треугольника равна 16⋅4=64 м².

3. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза?

Очевидно, что в каждой следующей конструкции число маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.

Если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 4 раза, то общее число маленьких треугольников будет равняться 256.

4. Сколько маленьких треугольников получится, если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 3 раза?

Очевидно, что в каждой следующей конструкции число маленьких треугольников увеличивается в 4 раза.

Если повторить эти действия (построить такую конструкцию) 3 раза, то общее число маленьких треугольников будет равняться 64.

Определи площадь данных фигур, если площадь одной клетки равна 6 см2. 1)

Фигура образует 2 клетки, а ее площадь равна 6 *2 = 12 кв.см.

У второй фигуры будет 8 клеток. Площадь фигуры равна 8 ⋅ 6 = 48см2 .

Подумай, как построены данные фигуры, и определи, сколько клеток будет у следующих двух фигур, если их построить по той же закономерности.

У третьей фигуры — 18 клеток, у четвертой — 32 клетки.

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

R — большая полуось

r — малая полуось

π ≈ 3.14

Формула площади эллипса, через полуоси:

Калькулятор, вычислить площадь элипса:

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, ( S ):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, ( S ):

2. Формулы площади равнобедренной трапеции если в нее вписана окружность

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α , β — углы трапеции

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

R — радиус вписанной окружности

m — средняя линия

O — центр вписанной окружности

c — боковые стороны

а — нижнее основание

b — верхнее основание

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, стороны и среднюю линию ( S ):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, ( S ):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c — боковая сторона

m — средняя линия трапеции

α , β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, ( S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, ( S ):

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формулы для треугольника:

Зная длины всех трех сторон

и используя формулу Герона можно найти площадь разностороннего треугольника

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

Калькулятор — вычислить, найти площадь треугольника:

Формулы для треугольника:

Треугольник это плоская фигура, которая имеет три стороны и три угла. Сумма всех трех углов, равна 180 градусов. Высота треугольника это — опущенный перпендикуляр из вершины угла на противоположенную сторону или ее продолжение, которую в этом случае, называют основанием.

Что бы найти площадь треугольника,

для этого надо основание умножить на высоту и разделить на два

Понятие площади

Определение

Площадью (S) геометрической фигуры именуется численная величина, характеризующая её размер.

В этом собственно и состоит понятие площади. У неё есть следующие два свойства:

1. Площадь равных геометрических фигур имеет одно и то же числовое значение;
2. Величина площади фигуры равняется сумме единичных площадей квадратов, на которые её можно разделить.

Пример 1.

Пусть у нас имеется прямоугольник в котором укладывается 7 клеток по вертикали и 12 по горизонтали. Это значит он будет иметь стороны a=7 и b=12.

Из рисунка видно, что S нашего треугольника это половина таковой у прямоугольника.  Последняя вычисляется так \. Чтобы узнать площадь треугольника, разделим \ на 2, тогда получим:

Формула 1

Подставляем численные значения (7*12)/2 = 42.